En esta guía práctica aprenderás a verificar si una función dada satisface una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Analizaremos 4 ejercicios clave resueltos paso a paso, abordando desde funciones exponenciales e hiperbólicas hasta derivadas de orden superior.
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Ejercicio 1: Solución Exponencial y Función Hiperbólica
Enunciado: Compruebe que las funciones propuestas $y_1(x) = e^x$ e $y_2(x) = \cosh(x)$ son soluciones de la Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden:
$$y'' - y = 0$$a) Verificación de la primera solución: $y_1(x) = e^x$
Derivadas de la función:
Recordamos que la derivada de la función exponencial natural $e^x$ es ella misma:
$$\begin{aligned} y_1(x) &= e^x \\ y_1'(x) &= e^x \\ y_1''(x) &= e^x \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'' - y &\stackrel{?}{=} 0 \\ e^x - e^x &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$b) Verificación de la segunda solución: $y_2(x) = \cosh(x)$
Derivadas con funciones hiperbólicas:
Recordamos las reglas de derivación de las funciones hiperbólicas ($\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ y $\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$):
$$\begin{aligned} y_2(x) &= \cosh(x) \\ y_2'(x) &= \sinh(x) \\ y_2''(x) &= \cosh(x) \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'' - y &\stackrel{?}{=} 0 \\ \cosh(x) - \cosh(x) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$Ejercicio 2: Verificación de Soluciones Exponenciales con Regla de la Cadena
Enunciado: Comprobar si las funciones propuestas $y_1(x) = e^{-3x}$ e $y_2(x) = e^x$ son soluciones de la Ecuación Diferencial Ordinaria:
$$y'' + 2y' - 3y = 0$$a) Verificación de la primera solución: $y_1(x) = e^{-3x}$
Para derivar $y_1(x) = e^{-3x}$, aplicamos la regla de la cadena para exponenciales: si $u = -3x$, entonces $u' = -3$.
Primera derivada:
$$\begin{aligned} y_1'(x) &= e^u \cdot u' \\ y_1'(x) &= e^{-3x} \cdot (-3x)' \\ y_1'(x) &= -3e^{-3x} \end{aligned}$$Segunda derivada:
$$\begin{aligned} y_1''(x) &= -3 \cdot (-3) \cdot e^{-3x} \\ y_1''(x) &= 9e^{-3x} \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'' + 2y' - 3y &\stackrel{?}{=} 0 \\ 9e^{-3x} + 2(-3e^{-3x}) - 3(e^{-3x}) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 9e^{-3x} - 6e^{-3x} - 3e^{-3x} &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$b) Verificación de la segunda solución: $y_2(x) = e^x$
Derivadas:
$$\begin{aligned} y_2'(x) &= e^x \\ y_2''(x) &= e^x \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'' + 2y' - 3y &\stackrel{?}{=} 0 \\ e^x + 2(e^x) - 3(e^x) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 3e^x - 3e^x &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$Ejercicio 3: Verificación con Funciones Polinómicas y Manejo de Signos
Enunciado: Comprobar si la función $y(x) = 3x + x^2$ es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria:
$$x y' - y = x^2$$Cálculo de la primera derivada:
Derivamos la función propuesta $y(x) = 3x + x^2$ utilizando las reglas básicas de derivación de potencias:
$$\begin{aligned} y &= 3x + x^2 \\ y' &= 3 + 2x \end{aligned}$$Sustitución y comprobación en la EDO:
Reemplazamos $y'$ e $y$ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial. (Atención: Colocamos paréntesis en $(3x + x^2)$ para evitar errores al distribuir el signo negativo).
$$\begin{aligned} x y' - y &\stackrel{?}{=} x^2 \\ x(3 + 2x) - (3x + x^2) &\stackrel{?}{=} x^2 \\ 3x + 2x^2 - 3x - x^2 &\stackrel{?}{=} x^2 \\ (3x - 3x) + (2x^2 - x^2) &\stackrel{?}{=} x^2 \\ x^2 &= x^2 \end{aligned}$$Ejercicio 4: Verificación en Ecuaciones Diferenciales de Cuarto Orden
Enunciado: Comprobar si las funciones propuestas $y_1(x) = \frac{x}{3}$ e $y_2(x) = e^{-x} + \frac{x}{3}$ son soluciones de la Ecuación Diferencial Ordinaria de cuarto orden:
$$y'''' + 4y''' + 3y = x$$a) Evaluación de la primera solución: $y_1(x) = \frac{x}{3}$
Cálculo de las derivadas sucesivas:
Calculamos hasta la cuarta derivada de la función polinómica:
$$\begin{aligned} y_1(x) &= \frac{x}{3} \\ y_1'(x) &= \frac{1}{3} \\ y_1''(x) &= 0 \\ y_1'''(x) &= 0 \\ y_1''''(x) &= 0 \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'''' + 4y''' + 3y &\stackrel{?}{=} x \\ 0 + 4(0) + 3\left(\frac{x}{3}\right) &\stackrel{?}{=} x \\ 3\left(\frac{x}{3}\right) &\stackrel{?}{=} x \\ x &= x \end{aligned}$$b) Evaluación de la segunda solución: $y_2(x) = e^{-x} + \frac{x}{3}$
Cálculo de las derivadas sucesivas:
Calculamos hasta la cuarta derivada de la función. Para la parte exponencial $e^{-x}$, aplicamos la regla de la cadena en cada paso ($\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$):
$$\begin{aligned} y_2(x) &= e^{-x} + \frac{x}{3} \\ y_2'(x) &= -e^{-x} + \frac{1}{3} \\ y_2''(x) &= e^{-x} \\ y_2'''(x) &= -e^{-x} \\ y_2''''(x) &= e^{-x} \end{aligned}$$Sustitución en la EDO:
$$\begin{aligned} y'''' + 4y''' + 3y &\stackrel{?}{=} x \\ e^{-x} + 4(-e^{-x}) + 3\left(e^{-x} + \frac{x}{3}\right) &\stackrel{?}{=} x \\ e^{-x} - 4e^{-x} + 3e^{-x} + 3\left(\frac{x}{3}\right) &\stackrel{?}{=} x \\ (1 - 4 + 3)e^{-x} + x &\stackrel{?}{=} x \\ 0 \cdot e^{-x} + x &\stackrel{?}{=} x \\ x &= x \end{aligned}$$
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