En esta entrada resolveremos 4 ejercicios clásicos de nivel examen. Analizaremos desde el manejo de potencias fraccionarias y funciones trigonométricas con la regla del cociente, hasta la regla del producto para exponenciales y un caso donde la solución propuesta resulta ser incorrecta.
📌 ¿Te estás preparando para un parcial? Descarga la guía completa en PDF con todos los problemas del taller resueltos en nuestro Gumroad oficial.
Ejercicio 1: Verificación con Potencias Fraccionarias y Radicales
Enunciado: Comprobar si la función $y(x) = \frac{x^4}{16}$ es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria:
$$\frac{dy}{dx} = x y^{1/2}$$Paso 1: Obtenemos la derivada de la función $y(x)$
Aplicamos la regla de derivación para potencias $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$:
$$\begin{aligned} y' &= \frac{1}{16} \cdot (4x^3) \\ y' &= \frac{1}{4}x^3 \end{aligned}$$Paso 2: Sustitución y verificación en la EDO
Reemplazamos $\frac{dy}{dx}$ e $y$ en la ecuación original. Recuerda que $y^{1/2} = \sqrt{y}$:
$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &\stackrel{?}{=} x y^{1/2} \\ \frac{1}{4}x^3 &\stackrel{?}{=} x \left( \frac{x^4}{16} \right)^{1/2} \\ \frac{1}{4}x^3 &\stackrel{?}{=} x \cdot \left( \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} \right) \\ \frac{1}{4}x^3 &\stackrel{?}{=} x \cdot \frac{x^2}{4} \\ \frac{1}{4}x^3 &= \frac{1}{4}x^3 \end{aligned}$$Ejercicio 2: Caso de Falsa Solución (Verificación Polinómica)
Enunciado: Comprobar si la función $y(x) = x^3$ es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden:
$$y'' + 7y' + 12y = 0$$Paso 1: Calculamos la primera y segunda derivada
$$\begin{aligned} y &= x^3 \\ y' &= 3x^2 \\ y'' &= 6x \end{aligned}$$Paso 2: Sustitución en la EDO
Reemplazamos las derivadas correspondientes en el lado izquierdo de la ecuación:
$$\begin{aligned} y'' + 7y' + 12y &\stackrel{?}{=} 0 \\ 6x + 7(3x^2) + 12(x^3) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 6x + 21x^2 + 12x^3 &\neq 0 \end{aligned}$$Ejercicio 3: Verificación Trigonométrica con Regla del Cociente
Enunciado: Comprobar si la función $y(x) = \frac{\sin x}{x}$ es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria:
$$x y' + y = \cos x$$💡 Recordatorio: Regla del cociente para derivadas: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Paso 1: Cálculo de la derivada $y'$
Aplicamos la regla del cociente con $u = \sin x$ y $v = x$:
$$\begin{aligned} y' &= \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} \\ y' &= \frac{(\cos x) \cdot x - \sin x \cdot (1)}{x^2} \\ y' &= \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \end{aligned}$$Paso 2: Sustitución y simplificación en la EDO
Reemplazamos $y'$ e $y$ en el lado izquierdo ($x y' + y$):
$$\begin{aligned} x y' + y &\stackrel{?}{=} \cos x \\ x \left( \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \right) + \frac{\sin x}{x} &\stackrel{?}{=} \cos x \end{aligned}$$Simplificamos la $x$ que multiplica fuera del paréntesis con el denominador $x^2$:
$$\begin{aligned} \frac{x\cos x - \sin x}{x} + \frac{\sin x}{x} &\stackrel{?}{=} \cos x \\ \frac{x\cos x - \sin x + \sin x}{x} &\stackrel{?}{=} \cos x \end{aligned}$$Los términos $-\sin x$ y $+\sin x$ se cancelan mutuamente en el numerador:
$$\begin{aligned} \frac{x\cos x}{x} &\stackrel{?}{=} \cos x \\ \cos x &= \cos x \end{aligned}$$Ejercicio 4: Verificación con la Regla del Producto ($y = x e^x$)
Enunciado: Comprobar si la función $y(x) = x e^x$ es solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden:
$$y'' - 2y' + y = 0$$💡 Recordatorio: Regla del producto para derivadas: $(uv)' = u'v + uv'$
Paso 1: Cálculo de las derivadas sucesivas
Dado que $y(x) = x \cdot e^x$, derivamos utilizando la regla del producto con $u = x$ y $v = e^x$:
Primera derivada ($y'$):
$$\begin{aligned} y' &= (x)' e^x + x (e^x)' \\ y' &= 1 \cdot e^x + x e^x \\ y' &= e^x + x e^x \end{aligned}$$Segunda derivada ($y''$):
Derivamos término a término la expresión de $y'$:
$$\begin{aligned} y'' &= \frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(x e^x) \\ y'' &= e^x + (e^x + x e^x) \\ y'' &= 2e^x + x e^x \end{aligned}$$Paso 2: Sustitución y verificación en la EDO
Reemplazamos $y''$, $y'$ e $y$ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial:
$$\begin{aligned} y'' - 2y' + y &\stackrel{?}{=} 0 \\ (2e^x + x e^x) - 2(e^x + x e^x) + (x e^x) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 2e^x + x e^x - 2e^x - 2x e^x + x e^x &\stackrel{?}{=} 0 \end{aligned}$$Agrupamos los términos semejantes de $e^x$ y de $x e^x$:
$$\begin{aligned} (2e^x - 2e^x) + (x e^x - 2x e^x + x e^x) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 + 0 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned}$$
💡 ¿Quieres la guía de estudio completa?
Accede a todos los problemas resueltos paso a paso en formato PDF para repasar cuando quieras.
👉 [Descargar Solucionario Completo de Ecuaciones Diferenciales en PDF]
