Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Orden y Linealidad
En esta guía explicamos paso a paso cómo clasificar el orden y la linealidad de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), analizando cuatro casos clave de examen.
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Ejercicio 1: Clasificación con Coeficientes Variables
Enunciado: Determine el orden de la siguiente ED y diga si es lineal o no:
$$(1-x)y'' - 4xy' + 5y = \cos x$$Solución paso a paso:
- Paso 1 (Identificar el orden): La derivada de mayor rango que aparece en la ecuación es $y''$ (segunda derivada), por lo tanto es de orden 2.
- Paso 2 (Analizar la linealidad): Observamos que la variable dependiente $y$ y sus derivadas ($y'$, $y''$) tienen exponente $1$ y no están multiplicadas entre sí. Los coeficientes como $(1-x)$ o $-4x$ dependen únicamente de $x$.
Resultado: Ecuación de segundo orden y LINEAL.
Ejercicio 2: Cuidado con las Potencias de las Derivadas
Enunciado: Determine el orden y linealidad de:
$$x\frac{d^3 y}{dx^3} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^4 + y = 0$$Solución paso a paso:
- Paso 1 (Identificar el orden): La derivada más alta es $\frac{d^3 y}{dx^3}$ (tercera derivada), por lo que es de orden 3.
- Paso 2 (Analizar la linealidad): El término $\left(\frac{dy}{dx}\right)^4$ representa la primera derivada elevada a la cuarta potencia. Al tener un exponente distinto de $1$, destruye la linealidad.
Resultado: Ecuación de tercer orden y NO LINEAL.
Ejercicio 3: Parámetros Trigonométricos
Enunciado: Determine si la siguiente ecuación en términos de $\theta$ es lineal:
$$(\sin\theta)y''' - (\cos\theta)y' = 2$$Solución paso a paso:
- Paso 1 (Identificar el orden): El término $y'''$ indica que la derivada más alta es de orden 3.
- Paso 2 (Analizar la linealidad): Las funciones trigonométricas $\sin\theta$ y $\cos\theta$ actúan como coeficientes de la variable independiente $\theta$, lo cual está permitido. La variable $y$ y sus derivadas no forman parte de las funciones trigonométricas.
Resultado: Ecuación de tercer orden y LINEAL.
Ejercicio 4: Derivadas bajo Radicales / Raíces
Enunciado: Determine el orden y la linealidad de la siguiente ED:
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$$Solución paso a paso:
- Paso 1 (Identificar el orden): La derivada de mayor orden presente es $\frac{d^2 y}{dx^2}$, por lo que se trata de una ED de orden 2.
- Paso 2 (Analizar la linealidad): La primera derivada $\frac{dy}{dx}$ está elevada al cuadrado y atrapada dentro de una raíz cuadrada. Al no ser una operación lineal sobre la derivada, la ecuación deja de ser lineal.
Resultado: Ecuación de segundo orden y NO LINEAL.
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